Loodusteaduse ülesannete vastused
Füüsika & keemia
Raskuskiirendus
- Ülesanne ja vastus [PDF, 52 KiB, 2 lk.]
Aitäh Steve’ile ja Dave’ile abi eest.
Raskusjõud kahe keha vahel on
`F = {G m_1 m_2}/r^2`,
kus `G` on gravitatsioonikonstant, `m_1` ja `m_2` kehade massid ning `r` nendevaheline kaugus.
Meid huvitab aga väikesele kehale massiga `m` mõjuv raskuskiirendus `g` planeedi lähedal, mille mass on `M` ja raadius `R`.
Newtoni teise seaduse järgi `F = m a`.
Gravitatsioonijõud planeedi ja tema pinnal oleva keha vahel on ühelt poolt
`F = {G M m}/R^2`,
teisalt defineeritud kui
`F = m g`.
Leiame, et
`g = {G M}/R^2`.
Kui `g` on planeedi suurusest sõltumata konstant, siis peab olema
`M/R^2 = g/G = const`,
s.t. planeedi mass on võrdeline tema raadiuse ruuduga!
Tulemus on veider: `M` võiks olla pigem võrdeline `R^3`, kuid isegi see eeldab, et planeedi tihedus on igal pool sama.
Kui mass on võrdeline raadiuse ruuduga, s.t. pindalaga, peaks see tähendama, et kogu planeedi mass on tema pinna lähedal — ulmefilmiplaneedid on seest tühjad!
Kui suur peab siis olema sfäärilise kesta tihedus? Maa raadius on umbes `R_⊕ = 6400 \text{km}` ja mass `M_⊕ = 6 \times 10^24 \text{kg}`. Maa pindala on `S_⊕ = 4 π R_⊕^2 = 5 \times 10^8 \text{km}^2`. Ühe ruutkilomeetri kohta tulev mass on `10^16 \text{kg}`, ühe ruutmeetri kohta `10^10 \text{kg}`.
Kui Maa-suuruse planeedi kesta paksus oleks `1 \text{km}`, on tema tihedus `10^7 \text{kg/m}^3`. Maa keskmine tihedus on umbes `5500 \text{kg/m}^3`, ligi kümme tuhat korda väiksem; valge kääbuse täheaine tihedus on vaid 100 korda suurem!
Kui kest ka tekiks, kukuks ta omaenese raskuse all kokku.
On märksa realistlikum viis planeedi pinnal samasugust raskuskiirendust hoida: tuleb muuta tavalise seest täis planeedi raske raud-nikkeltuuma ja suhteliselt väikese tihedusega kesta vahekorda.
Eeldame, et planeedil raadiusega `R` on tuum raadiusega `R_\text{c}` (mõistagi `R_\text{c} < R`). Tuuma tihedus olgu `\rho_\text{s}` ja planeedi koore tihedus `\rho_\text{c}` (mõistagi `\rho_\text{s} < \rho_\text{c}`).
Siis on planeedi mass `M` tuuma ja koore masside summa:
`M = V_\text{c} \rho_\text{c} + V_\text{s} \rho_\text{s} = 4/3 π R_\text{c}^3 \rho_\text{c} + (4/3 π R^3 - 4/3 π R_\text{c}^3) \rho_\text{s} = 4/3 π R^3 [\rho_\text{s} + \chi^3 (\rho_\text{c} - \rho_\text{s})]`,
kus defineerime raadiuste suhte `\chi = R_\text{c}/R`.
Me teame, et ulmefilmiplaneedi jaoks on
`M/R^2 = g/G`.
Seega
`g/G = 4/3 π R [\rho_\text{s} + \chi^3 (\rho_\text{c} - \rho_\text{s})]`,
kust tuuma ja planeedi (kesta) raadiuste suhe on
`\chi(R) = \root{3}{\frac{-3 g/G + 4 π R \rho_\text{s}}{4 π R ( \rho_\text{s}-\rho_\text{c})}}`.
Teeme graafiku, kui `\rho_\text{s} = 4000 \text{kg/m}^3` ja `\rho_\text{c} = 20000 \text{kg/m}^3`.
Tuuma ja planeedi raadiuste suhte `\chi` sõltuvus planeedi raadiusest `R`, kui raskuskiirendus planeedi pinnal on `g`.
Jooniselt näeme, et selle triki abil saame teha planeete nõnda väikese raadiusega kui `1800 \text{km}` või nõnda suurega kui `8800 \text{km}`. (Kuna tegu on jämeda hinnanguga, on tegelik vahemik väiksem.)
Et planeedi raadiust veelgi suurendada, hoides `g` konstantsena, võib lisada talle jääkesta. Jää tihedus on umbes `1000 \text{kg/m}^3` (suure rõhu all suurem). Nõnda saab ka `8800 \text{km}` piiri ületada.